Programme Licence Math Appliquée

                        

                                   Licence de Maths à distance
                                                                      Programme des enseignements                                  
                                1er semestre

Module 1 : Topologie
   •   Prérequis:
      Notion de continuité dans R. Les suites.
   •   Programme:
      Notions de base de topologie métrique (ouvert, fermé, frontière, distance, norme). Suites et
      continuité dans les espaces métriques. Espaces topologiques généraux (notion d'homomorphisme,
      topologie induite, topologie produit). Etude de la connexité, compacité et complétude. Convexité.
   •   Objectif:
      Etudier les principales notions de topologie utilisées dans les autres unités de valeurs et nécessaires
      pour préparer le CAPES ou l'agrégation de mathématiques, ou suivre des cours de Mastère.
Module 2 : Intégration
   •   Prérequis:
      Les techniques de base du calcul intégral (intégration par parties, changements            de variables
      élémentaires, intégration des fractions rationnelles).
   •   Programme :
      Clans, tribus et mesures. Mesure de Lebesgue dans R (comme conséquence d'un théorème de
      prolongement (admis)). Fonctions mesurables. Construction de l'intégrale. Fonctions intégrables.
      Théorèmes de la convergence monotone. Lemme de Fatou. Théorème de la convergence dominée.
      Liens entre l'intégrale de Riemann et l'intégrale de Lebesgue. Continuité et dérivabilité des intégrales
      dépendant d'un paramètre. Tribu produit et mesure produit. Théorèmes de Fubini. Théorème de
      changement de variables. Complétude des espaces Lp. L'espace L2 est un Hilbert.
   •   Objectifs :
      A l'issue de ce cours, l'étudiant devrait être capable de :
      Donner quelques raisons de l'introduction de l'intégrale de Lebesgue.
      Comparer l'intégrale de Riemann et l'intégrale de Lebesgue.
      Définir et expliquer la notion d'intégrale d'une fonction mesurable positive par rapport une mesure.
      Utiliser correctement le théorème de convergence monotone et le théorème de convergence
      dominée.
      Utiliser correctement les conditions de continuité et de dérivabilité d'une intégrale dépendant d'un
      paramètre.
      Utiliser correctement, et à travers beaucoup d'exemples, les théorèmes de Tonelli et Fubini.
Module 3 : Calcul différentiel
   •   Prérequis :
      Dérivation des fonctions réelles d'une variable réelle.
      Etude locale des courbes paramétrées dans R2.
      Rudiments d'algèbre linéaire et bilinénaire.
   •   Programme :
      Notion de différentielle (dimension finie). Interprétation géométrique. Matrice jacobienne.
      Différentielle d'une application composée.
      Fonctions de classe C1 et dérivées partielles.
      Théorème de la moyenne. Inégalité des accroissements finis et applications.
      Théorème d'inversion locale. Théorème des fonctions implicites.
      Application à l'étude locale des courbes et des surfaces.
      Courbes paramétrées (branches infinies, étude locale, repère de Frénet).
      Différentielles d'ordre supérieur. Formule de Schwarz. Formule de Taylor.
      Points critiques et extremums des applications numériques.
      Extremums relatifs.                       
    •   Objectif :
        Se familiariser avec les bases du calcul différentiel et atteindre une bonne compréhension du
        théorème des fonctions implicites.
        Ces notions font partie des fondements nécessaires à toute spécialisation en mathématiques
        (préparation au CAPES, à l'agrégation ou master de mathématiques pures ou appliquées).
Module 4 : Groupes
    •   Prérequis:
        Les rudiments sur les entiers, les congruences, les matrices, les permutations, la notion de relation
        et les groupes.
    •   Programme:
        Groupes, sous groupes, générateurs, classes, théorème de Lagrange, sous groupes normaux.
        Homomorphismes de groupe. Isomorphismes classiques, ordre d'un élément. Groupe du dièdre,
        générateurs et relations. Produit direct et semi-direct. Groupes symétriques et alternés.
        Classification des groupes abéliens d'ordres finis. Groupes de matrices et d'homographies. Action
        de groupes, orbites, stabilisateurs et sous groupe d'inertie. Classes de conjugaisons. Groupes en
        géométrie. Théorèmes de Sylow. Détermination des groupes de petits ordres.
    •   Objectif:
        Maîtriser les notions d'ordre d'un élément, d'orbite et de sous groupe. Atteindre un certain
        niveau de familiarité avec la notion de quotient et les isomorphismes classiques, surtout pour les
        groupes cycliques et abliens d'ordres finis. Pouvoir travailler avec des exemples de groupes utilisant
        générateurs et relations, surtout avec le groupe du dièdre. Connaître un certain nombre d'exemples.
        Comprendre les théorème de Sylow.
Module 5 : Analyse complexe
    •   Prérequis:
        Différentiabilité et dérivabilité partielle. Séries entières. Rudiments de topologie. Théorie élémentaire
        de l'intégration en la variable réelle.
    •   Programme:
        Définition d'une fonction holomorphe, conditions de Cauchy en coordonnées cartésiennes et
polaires.
        Séries entières, fonctions analytiques, principes des zéros isolés et du prolongement analytique. Les
        fonctions classiques: exponentielle, les fonctions trigonométriques et hyperboliques complexes,
        logarithme et déterminations du logarithme.
        Intégration le long d'un chemin, primitives des fonctions complexes (CNS d'existence d'une
        primitive), primitives des fonctions holomorphes (théorème de Goursat sur un ouvert étoilé,
        existence locale d'une primitive).
        Formule de Cauchy sur un disque, formules de la moyenne, analyticité des fonctions holomorphes,
        théorèmes de Liouville, de Moréra, du maximum. Notion d'indice.
        Homotopie, invariance de l'intégrale par homotopie, simple connexité, formule de Cauchy (y compris
        aux ordres supérieurs à 1) pour un lacet d'un ouvert simplement connexe.
        Les différents types de singularités, théorème de Weierstrass (l'image d'un voisinage d'une
        singularité essentielle est dense), théorème de Picard (sans démonstration), séries et
        développements de Laurent, résidus, théorèmes de Rouché, de l'image ouverte. Calculs d'intégrales
        par la méthode des résidus.
    •   Objectif:
        Etudier les propriétés élémentaires des fonctions holomorphes nécessaires pour suivre un cours
        d'analyse complexe niveau Mastère, présenter l'agrégation de mathématiques ou comprendre
        certains phénomènes physiques.
Module 6 : Probabilités
   •   Prérequis:
       Probabilités et variables aléatoires discrètes(y compris la loi de Bernouilli, binomiale, de Poisson),
       indépendance, probabilités conditionnelles, espérance et variance (sans notion d'espace
       probabilisé).
       Eléments de base de la théorie de mesure de Lebesgue et l'intégrale de Lebesgue.
   •   Programme:
       Espaces probabilisés et tribus. Variables et vecteurs aléatoires, discrets et continus, ainsi que leurs
       paramètres (moments, covariance). Lois classiques continues de probabilité. Fonctions
       caractéristiques. Convergence des suites de variables aléatoires.
   •   Objectif:
       Savoir modéliser les expériences aléatoires à l'aide du language développé dans le programme.
       Fournir les fondements nécessaires pour la poursuite d'études en Mastère professionnel ou
       recherche, pour la préparation du CAPES et de l'agrégation de mathématiques ou pour comprendre
       les applications des probabilités.
Module 7 : Anneaux
   •   Prérequis:
       Familiarité avec les anneaux classiques Z et k[t].
   •   Programme:
       Anneaux commutatifs, intègres, euclidiens, principaux et factoriels. Idéaux, somme et intersection.
       Division, reste, quotient, pgcd, ppcm, éléments premiers et irréductibles, unités, éléments associés,
       factorisation. Groupe des unités d'un anneau. Anneau quotient, homomorphisme d'anneaux. Corps,
       corps de fractions, corps de rupture.
   •   Objectif:
       En se centrant sur des exemples concrets (Z, k[x], k[x,y] et leurs quotients) introduire les concepts
       usuels liés aux anneaux et montrer leur pertinence pour résoudre divers problèmes de cryptographie
       ou d'arithmétique.
Module 8 : Equations différentielles
   • Prérequis:
   De bonnes bases en algèbre linéaire en dimension finie, y compris la réduction d'endomorphismes.
   Propriétés générales des espaces vectoriels normés en dimension finie. Connaissances requises en
   calcul différentiel et intégral.
   • Programme:
   Equations différentielles de la forme x' = f(t,x). Champ de vecteurs et champ de directions. Problème de
   Cauchy. Solutions maximales et globales. Courbe intégrale. Trajectoire ou orbite.
   Théorèmes d'existence et d'unicité des solutions: théorème de Cauchy-Peano-Arzela (admis), théorème
   de Cauchy-Lipschitz. Lemme de Grönwall. Dépendance des solutions par rapport aux paramètres et
   aux conditions initiales. Cas des quations différentielles linéaires à coefficients constants ou variables.
   Système fondamental de solutions. Résolvante. Wronskien.
   Méthodes de résolution explicite. Equations à variables séparables. Equations homogènes. Equations
   classiques: Bernoulli, Riccati, Lagrange, Clairault.
   Applications à des problèmes de modélisation (en relation avec le module d'analyse numérique).
    • Objectif:
    Etudier les principales notions nécessaires pour préparer le CAPES de mathématiques. Fournir les
    fondements nécessaires pour la poursuite d'étude en Master professionnel ou recherche en
    mathématiques, ainsi que pour la préparation à l'agrégation de mathématiques.
Module 9 : Géométrie
    •    Prérequis:
         Une bonne connaissance du langage de la géométrie plane vue au lycée (droites, triangles, cercles,
         translations, homothéties, théorèmes de Thalès et Pythagore)
         Notions de trigonométrie: interprétation des fonctions usuelles, formules classiques, formule de
         Moivre. Interprtation géométrique du produit scalaire .
    •    Programme:
         Structure d'espace affine, cas de Rn.
         Barycentres, espace vectoriel des points pondérés (ou points massiques)
         Applications affines classiques. Groupe affine et sous-groupes.
         Définition et proprités affines des coniques.
         Géométrie euclidienne, isométries, similitudes.
         Groupe stabilisant une figure (polygone, cube, pavage...)
         Définition(s) et propriétés euclidiennes des coniques et quadriques.
         Paramétrisations polaire et rationnelle des coniques.
    •    Objectif:
         A l'issue de ce cours dont l'orientation générale est celle du programme du CAPES, un étudiant
devrait:
         pouvoir donner une présentation claire de ce qu'est un espace affine, ne plus confondre les
         propriétés affines et les propriétés métriques des objets, connaître les principales transformations
         géométriques du plan et les groupes associés, relier les différentes présentations des coniques,
         connaître et reconnaître les différentes quadriques euclidiennes, savoir expliciter leurs éléments de
         symétrie.
Module 10 : Analyse numérique
    •    Prérequis:
         Calcul intégral, formule de Taylor. Le théorème d'existence et d'unicité de Cauchy pour les équations
         différentielles sera rappelé.
    •    Programme:
         Résolution numérique de systèmes linéaires. Méthode du pivot et factorisations LU. Initiation aux
         problèmes de conditionnement.
         Calculs approchés d'intégrales.
         Notion générale d'opérateurs approchés d'intégration et d'ordre d'exactitude d'une méthode.
         Méthodes des trapèzes et de Simpson avec évaluation de l'erreur.
         Résolution numérique d'équations différentielles.
         Méthodes à un pas. Notions d'erreur de consistance et de stabilité.
         Evaluation de l'erreur. On centrera ce cours sur les méthodes d'Euler et de Taylor.
         Une mise en oeuvre par le logiciel Scilab sera envisagée dans la mesure du possible.
    •    Objectif:
         A partir des connaissances élémentaires d'analyse acquise dans les UV antérieures, donner une
         initiation aux méthodes de calcul approché, avec une étude comparée de performances et une
         analyse de la précision et de la fiabilité des résultats. Cette UV est conçue pour être utile en vue
         d'études de mathématiques appliquées mais aussi pour de futur enseignants (CAPES ou
         Agrégation).